مساله اینشتین

 
-  این مساله را انشتین در قرن نوزدهم مطرح کرده  و گفته است 98 درصد مردم دنیا قادر به حلش نیست. ممکن است ظاهر مساله خسته کننده باشد ولی در باطن نیست:
1- در یک خیابون 5 خانه وجود دارد که با پنج رنگ متفاوت رنگ شدند.
2- در هر خانه يک نفر با ملیت متفاوت با بقیه زندگی میکند.
3- هر کدوم از 5 صاحبخونه يک نوشیدنی متفاوت, یه مارک سیگار متفاوت دوست دارد و يک حیوان متفاوت در خانه نگهداری میکند
سوال این است که چه کسی در خانه ماهی نگهداری میکنه با این شرطها که:
1- انگلیسه خونه اش قرمزه
2- سوئدیه تو خونه سگ نگه میداره
3- دانمارکیه چای دوست داره
4- خونه سبز رنگ سمت چپ خونه سفیده
5- صاحب خونه ی سبز رنگ قهوه دوست داره
6- کسی که سیگار پالمال میکشه پرنده نگهداری میکنه
7- صاحب خونه زرد رنگ سیگار دانهیل میکشه
8- مردی که تو خونه وسطی زندگی میکنه شیر دوست داره از نوشیدنی ها(نه حیوونا)
9- نروژیه تو اولین خونه زندگی میکنه
10- مردی که بلندز میکشه همسایه اونیه که گربه نگهداری میکنه
11- مردی که اسب نگهداری میکنه همسایه مردیه که دانهیل میکشه
12- مردی که بلو مستر میکشه آبجو دوست داره(ببخشید ماءالشعیر)
13- آلمانیه سیگار پرنس میکشه
14- نروژیه همسایه اونیه که خونه اش آبیه
15- مردی که بلندز میکشه همسایه ای داره که آب دوست داره بین نوشیدنیها
حالا نگین زمان انیشتین این سیگارها نبوده. لابد یه بدبختی اومده به جای ایکس و ایگرگ این چیزها رو گذاشته که مساله طبیعی تر بشه

مسئله ي جالب رياضي

 

پدری از دو پسر تیزهوش خود می خواهد که هر کدام یک عدد انتخاب نمایند و بدون آنکه دیگری متوجه شود، عدد خود را به او بگویند. پدر بعد از شنیدن اعداد میگوید: حاصلضرب دو عددی که آنها انتخاب کرده اند، 8 یا 16 می باشد. سپس از پسر بزرگتر سئوال می کند: " آیا میدانی عددی که برادرت انتخاب کرده است چند می باشد؟"
پسر بزرگ: " نمی دانم! "
پدر از پسر کوچکتر همین سئوال را می پرسد.
پسرکوچک : " نمی دانم! "
پدر از پسر بزرگ مجددا همین سئوال را می پرسد.
پسر بزرگ: " نمی دانم! "
پدر از پسر کوچک مجددا همین سئوال را می پرسد.
پسرکوچک : " نمی دانم! "
پدر از پسر بزرگ بازهم همین سئوال را می پرسد.
پسر بزرگ: " می دانم! "
شما مي دانيد عددی که پسر کوچک انتخاب نموده است چند است؟

-> جواب : بزرگه میگه نمیدونم، پس عدد وی 16 نیست چون اگر 16 بود با توجه به حاصلضرب اعلام شده فقط عدد 1 برای پسر کوچک باقی می ماند و در آن صورت می توانست به راحتی عدد پسر کوچک را بگوید. .....
B- کوچیکه میگه نمیدونم، پس عدد وی 1 و 16 نیست. چون اگر 1 بود فقط عدد 8 ، و اگر 16 بود فقط عدد 1 برای بزرگه باقی می ماند. .....
C- بزرگه میگه نمیدونم، پس عدد وی 1 و 8 نیست. .....
D- کوچیکه میگه نمیدونم، پس عدد وی 2 و 8 نیست. .....
در این لحظه که از بزرگه سوال میشود ، او تنها عدد باقی مانده برادرش را که 4 می باشد، میتواند اعلام کند

 

مسئله معروف

 

دو عرب با هم مسافرت ميكردند يكي از انها 5 قرص نان و ديگري 3 قرص نان با خود
داشت. عرب سومي به انها پيوست .شب شد و همه با هم 8 قرص نان را خوردند.عرب سوم 8 درهم به ان دو عرب ديگر داد كه بر سر تقسيم ان بين اين دو اختلاف افتاد.
ان كه 5 قرص نان داشته بود مي گفت تقسيم بايد به نسبت 5 به 3 انجام گيرد
و ديگري مي گفت بايد به تساوي باشد.اختلافشان بالا گرفت
و سرانجام از حضرت علي داوري خواستند .ان حضرت 7 درهم را حق صاحب 5 قرص نان و1 درهم را حق صاحب 3 قرص نان دانست!!!
به نظر شما داوري حضرت بر چه پايه اي بوده است؟

**نكته ي اصلي در حل اين مساله ان است كه معلوم شود عرب ميهمان چقدر نان
خورده و از انچه خورده چه مقدارش از ان هر يك از دو عرب بوده است .چون 8 قرص نان را سه نفر به تساوي خورده اند پس هر كدام هشت سوم قرص نان را خوره اند.
ان كه 5 قرص نان داشته هشت سوم انها را خودش خورده و هفت سوم انها را عرب
سوم خورده است و ديگري كه 3 قرص نان داشته هشت سوم انها ره خودش خورده و تنها يك سوم انها را به عرب سوم داده است.
بنابراين 8 درهم بايد به نسبت هفت چهارم و يك چهارم تقسيم شود كه سهم اولي 7 درهم وسهم دومي 1 درهم است.

مسئله جا لب رياضي

 

فرض كنيد :
- ۱۰۰ نفر آدم با هوش در يك سالن زنداني هستند.
- حداقل يك نفر و حداكثر همه آنها داراي يك خال بر روي صورتشان هستند.
- هيچ كدام از اين افراد نمي دانند كه آيا خود داراي خال هستند يا نه.
- به آنها گفته شده كه به ازاي هر آدم خال دار يك شبانه روز ( نه كمتر و نه بيشتر) مهلت دارند كه آدم هاي خال دار از سالن بيرون بيايند.
- اين افراد نمي توانند هيچ ارتباطي با افراد ديگر موجود در سالن برقرار كنند.
- تنها ارتباط موجود ديدن صورت افراد ديگر است.
- به هيچ امكاني هم دسترسي ندارند كه صورت خود را ببينند.
- خلاصه پيغام و پيام و آينه و .... ممنوع است.
- تعداد افراد خال دار معلوم نيست.
سؤال : با چه روشي ممكن است كه فقط افراد خال دار در پايان مهلت تعيين شده (n روز به ازاي n خال دار) از سالن خارج شوند؟
جواب - > فرض کنین یه نفر تو قبیله خال داشته باشه. اون فرد خالدار بقیه قبیله رو میبینه که هیچ کس خالدار نیست ولی چون رییس قبیله گفته اینجور افراد حتما وجود دارند، نتیجه میگیره فقط خودش خالداره و همون روز اول خودش رو میکشه. از طرف دیگه بقیه افراد بدون خال میبینن یه نفر خال داره ولی خودشون نمیدونن خال دارن یا نه. مثل بالا برای خودشون استدلال میکنن که اگه خودشون خال نداشته باشن اون فرد خالدار باید امروز خودش رو بکشه و اگر خودشون خال داشته باشن اون فرد ديگه امروز رو منتظر خواهد موند. اون فرد خالدار روز اول خودشو ميکشه و بقيه ميفهمن که خودشون خالدار نبودن. اين از يکی.
حالا برای دو نفر همين استدلال رو تکرار کنين. فرض کنين دو نفر تو قبيله خال دارن. اونی که خالداره ميبينه يه نفر تو قبيله خال داره ولی نميدونه خودش هم خال داره يا نه. با خودش ميگه اگه من خال نداشته باشم اون فرد خالدار بايد امروز خودش رو بکشه و اگر خال داشته باشم بايد منتظر بمونه. اون فرد ديگه هم همين جور استدلال ميکنه و هر دوشون روز اول رو کاری نميکنن و منتظر ميمونن. در نتيجه ميفهمن که هر دو تا خالدارن و روز دوم خودشون رو ميکشن. اما اونايی که خال ندارن ميبينن دو نفر تو قبيله خال دارن. اونا دو روز صبر ميکنن تا سرنوشت اين دو تا معلوم بشه و چون روز دوم اون دو نفر خودشون رو ميکشن ميفهمن که خودشون خال نداشتن.
به همین ترتیب میتونین برای سه نفر و چهار نفر و ... تکرار کنین استدلال رو. در نتیجه اگه n نفر خالدار باشن تا روز n-1 ام صبر ميکنن و بقيه که خال ندارن تا روز n ام. روز n ام افراد خالدار دسته جمعی خودشون رو ميکشن و از اينجا بقيه ميفهمن که خودشون خال ندارن. يعنی تا صبح روز n+1 فرد خالداری تو قبيله وجود نخواهد داشت. پس تو این قبیله ما 7 نفر خالدار بودن چون تا صبح روز هشتم دیگه فرد خالداری تو قبیله نبوده

صورت مسئله و جوابش

 

صورت مساله: 12 سکه داریم که یکی از آنها تقلبی است(معلوم نیست سنگین تر از بقیه است یا سبکتر) میخواهیم با سه بار وزن کردن اون سکه تقلبی رو پیدا کنیم.

12 سکه را به 3 دسته 4 تایی تقسیم می کنیم و با انتخاب 2 دسته تا از آنها توزین اول را انجام می دهیم 2 حالت پیش می آید:

الف)2 دسته برابرند: پس دسته باقی مانده حاوی سکه تقلبی است. از بین 4 سکه این دسته 2 تا را انتخاب و توزین دوم را انجام می دهیم. اگر برابر بودند سکه تقلبی در بین 2 تای دیگر است، کافی است که یکی از آنها را با یک سکه معمولی بسنجیم(توزین سوم) که سکه تقلبی معلوم می شود. اگر برابرنبودند سکه تقلبی در بین همین 2 تا است، باز کافی است که یکی از آنها را با یک سکه معمولی بسنجیم(توزین سوم) که سکه تقلبی معلوم می شود.

ب) 2 دسته نا برابرند: یکی از 2 دسته حاوی سکه تقلبی است و مساله قدری سخت تراز حالت الف می شود . با خارج کردن 3 سکه از یک دسته و جابجایی 2 سکه از دسته دیگر به این دسته و افزودن 1 سکه معمولی به دسته دیگر توزین دوم را بین 2 دسته 3 تایی ایجاد شده انجام می دهیم .3 حالت پیش می آید:

ب-1) دو دسته برابرند
پس سکه تقلبی در بین 3 تای خارج شده است. با توجه به اینکه میدانیم از کدام دسته این 3 تا برداشته شده اند نوع نابرابری ان دسته در توزین اول سبکتر یا سنگینتر بودن سکه را معلوم می کند پس با توزین سوم سکه تقلبی بین این 3 سکه معلوم می شود. یعنی 2 تارا با هم می سنجیم اگر برابر بودند سومی تقلبی است واگرنابرابربودند همانی که نوع نابرابری را داشته باشد تقلبی است.

ب-2) دو دسته نابرابری خلاف توزین اول دارند پس سکه تقلبی بین 2 سکه جابجا شده است که با توزین سوم معلوم میشود.

ب-3) دو دسته نابرابری مشابه توزین اول دارند. پس سکه های خارج شده وسکه های جابجا شده (*) سکه های معمولی هستند و سکه تقلبی بین آنهایی است که جابجا نشده اند. در کل از 8 سکه مشکوک 5 تا کنار میرود و 3 سکه مشکوک باقی میماند. از دسته ای که 2 سکه دارد یکی را خارج می کنیم و1 سکه را به دسته دیگر منتقل می کنیم و در سمت دیگر 2 سکه معمولی می گذاریم توزین سوم را بین این 4 سکه انجام می دهیم .2 حالت پیش می آید:

ب-3-1) دو دسته برابرند پس سکه تقلبی سکه خارج شده است .
ب-3-2) دو دسته نابرابری خلاف توزین اول دارند پس سکه جابجا شده همان سکه تقلبی است.
ب-3-3) دو دسته نابرابری مشابه توزین اول دارند. پس سکه های خارج شده وجابجا شده سکه های معمولی هستند و سکه غیر این دو تقلبی است.

دیوفانت

رياضي دان،فيزيك دان

ديوفانت از رياضي دانان يونان باستان بوده كه بويژه روي مساله هاي مربوط به عدد صحيح كار ميكرده است.پس از در گذشت ديوفانت شاگردانش نوشته زير را بر روي سنگ گور او حك كردند:
﴿﴿ اينجا ارامگاه ديوفانتوس است.او عمري طولاني داشت يك ششم سالهاي عمرش را در كودكي گذراند , پس از ان يك دوازدهم سالهاي عمرش را در جواني سپري كرد , انگاه پس از انكه يك هفتم از سالهاي عمرش هم گذشت ازدواج كرد. پنج سال پس از انكه ازدواج كرد, همسرش براي او يك پسر اورد.سرنوشت چنين بود كه اين پسر پيش از او درگذرد در حالي كه تعداد سالهاي عمرش نصف تعداد سالهايي بود كه پدرش زندگي كرد.﴾﴾ديوفانتوس چند سال عمر كرد و مرگ او چند سال پس از در گذشت پسرش روي داد؟

-> جواب:هر گاه طول عمر ديوفانت ۱ فرض شود تعدا سالهاي كه پيش از ازدواج گذرانده يك ششم بعلاوه ۱ دوازرهم بعلاوه يك هفتم سال ميشود و وقتي عدد صحيح است كه فرض برابر با مضربي از كوچكترين مضرب مشترك عددهاي 6,12 و 7 يعني مضربي از 84 باشد.اما از مضربهاي صحيح 84 تنها خود 84 پذيرفتني است.بنابراين:ديوفانت 84سال و پسرش 42 سال عمر كرده است و با محاسبه كسرهايي از عمرش كه ياد شده اند به دست خواهد امد كه پسرش وقتي زاده شده كه او 38 سال داشته و 4 = (42+38) - 84 سال پس از مرگ پسرش در گذشته است.

رياضيات در قديم چگونه بود؟

 

از قديم رياضي به دو دسته ي حساب و هندسه تقسيم ميشده در يونان بيشتر رياضيدانان بزرگ به علم هندسه پرداخته اند زيرا در آن زمان كه يوناني ها برده داري ميكردند علومي را كه كاربردي بود تحقير ميكردند زيرا آنها تمام كارها و علوم كاربردي را مختص برده ها مي دانستند و چون فكر ميكردند كه علم هندسه كاربردي ندارد به علم هندسه پرداختند و كشفهاي زيادي را در هندسه به دست آوردند ولي در زمينه ي حساب ضعف هاي زيادي داشتند البته در چند سده ي آخر كه بيشتر دانشمندان به اسكندريه رو آورده بودند كارهاي اندكي در زمينه ي رياضيات محاسبهاي داشتند.يوناني ها حتي نتوانستند راه ساده اي براي عدد نويسي پيشنهاد كنند و عددها را به كمك حروف الفبا مينوشتند. اما در سده ها و هزاره هاي پيش از دانش يونان مردمي كه در سرزمينهاي ايران، بابل، مصر، چين و جاهاي ديگر زندگي مي كردند از آن جا كه به كاربرد هاي رياضيات نظر داشتند نه تنها در عدد نويسي، كه به طور كلي در زمينه هاي مختلف رياضيات محاسبه اي، بسيار پيشرفته بودند و با عددهاي كوچك و بزرگ كار مي كردند.

روابط جالب در رياضی

1=1×1
121=11×11
12321=111×111
1234321=1111×1111
...

2121=21×101
3838=38×101
9393=93×101
قانون: هر عددي در 101 ضرب شود در حاصل دوبار تكرار مي شود

معماي حساب استدلالي

 

در زمان قديم كه روستاييان محصولات خودشان را بميدان براي فروش مي آ وردند يك زن روستايي يك سبد تخم مرغ بميدان آورده كه بفروشد.
هنوز هيچ نفروخته بود كه اسب يك سوار پاش خورد بسبد تخم مرغ. نتيحتا بيشتر تخم مرغ ها شكستند.
اسب سوار خيلي نا راحت شد واز روستايي پوزش خوا ست و حاضر شد پول همه آنهارا بپردازد.
اسب سوار از روستايي سوال كرد": "مادر جون چند تا تخم مرغ داشتي؟"
خانم در حواب گفت:
"تعدادشونو نميدو نم اما وقتي آنهارا دوتا دوتا بر ميداشتم يكي باقي ميموند
وقتي سه تا سه تا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, وقتي چهارتا چهارتا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, وقتي پنحتا پنحتا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, وقتي شش تا شش تا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, اما وقتيكه هفت تا هفت تا بر ميداشتم هيچي باقي نميموند.
اسب سوار حساب كرد و پول تخم مرغاي زن را داد.
- سوال
كمترين تعداد تخم مرغي كه زن روستايي ميتوانست داشه باشد چندتا بود؟
- جواب ۳۰۱ مي‌شه

منطقش اينه كه بايد كوچكترين عددي رو پيدا كنيم كه باقيمانده‌اش وقتي تقسيم به اعداد ۲ تا ۶ مي‌شود بايد يك باشه و اين عدد مضربي از هفت باشه

از روش ديگر اگر بخواهيم بررسي كنيم مي بينيم كه a-1بر ۲و۳و۴و۵و۶ بخشپذير است و از طرف ديگر aبر ۷ بخشپذير مي باشد.ك.م.م اعداد ۲و۳و۴و۵و۶ عدد ۶۰ مي باشد اما ۶۰ نمي تواند a-1 باشد زيرا ۶۱ بر۷ بخشپذير نيست.60*2را بجاي a-1 در نظر مي گيريم مطلوب نيست ۳*۶۰ را در نظر مي گيريم بازهم نمي شود.۴*۶۰ نيز همينطور زيرا ۲۴۱ بر۷ بخشپذير نيست.اما ۶۰*۵ درست است زيرا عدد ۳۰۱ بر ۷ بخشپذير است.بنابراين كوچكترين عدد با شرايط مساله ۳۰۱ مي باشد كه صابر با برنامه اش به آن رسيد.

خاصيت اعداد بين صفر و يك

 

در يك عبارت توان مانند a به توان x كه a مثبت و ثابت و x عدد بزرگتر از يك باشد حاصل
توان نيز زياد ميشود اما اگر a كوچكتر از يك و بزرگتر از صفر باشد (بين صفر و يك) حاصل
توان كوچكتر ميشود.
به عبارت ديگر براي مثال شما اگر 2 را به توان سه برسانيد ميشود هشت كه از دو
بيشتر است , اما اگر يك دوم (كه عددي بين صفر و يك است) را به توان 3 برسانيد
ميشود يك هشتم كه از يك دوم كوچكتر است.اين خاصيت اعداد است كه اگر عدي
در انها ضرب شود يا به توان برسند جوابشان كوچكتر ميشود.
* ايا ميدانستيد كه اگر يك عدد دو رقمي را انتخاب كنيد(مثل 47 يا 89 و ...) و
سپس عددهاي ان را از خود عدد دو رقمي كم كنيد(مثلا عدد 47 : 36 = 7 - 4 - 47 )
عدد بدست امده هميشه مضربي از 9 خواهد بود.
همچنين در مورد اعداد 3 رقمي اگر چنين عملي شود
(مثلا 723 : 711 = 3 - 2 - 7 - 723 )حال اگر رقمهاي عدد بدست امده را با هم
جمع كنيد( 9 = 1+1+7 هميشه جواب يا 9 خواهد بود يا 18.

*‌ عدد 6 به هر توان طبيعي كه برسد رقم يكان جوابش 6 و رقم دهگانش فرد است و
رقم يكان نصف اين عدد هميشه 8 خواهد بود.
*‌ 4 تقسيم بر يك دوم 8 خواهد بود كه به نظر مي ايد ميشود 2

 

احتمالات

اگه يه خانواده ای پسر داشته باشن چقدر احتمال داره فرزند ديگه شون دختر باشه.

اين مساله اگه نتونين خوب استدلال کنين به يه پارادوکس شبيه ميشه. از يه طرف ميتونين بگين احتمال پسر و دختر شدن ۵۰ درصده در نتيجه پسر بودن يه فرزند ربطی به جنسيت فرزند ديگه نداره و اين دو پيشامد کاملا مستقلند و نتيجه بگيرين که جواب ميشه ۵۰ درصد.

از طرف ديگه ميتونين برای دو فرزند چهار حالت رو متصور بشين (پسر-پسر)، (پسر-دختر)، (دختر-پسر) و (دختر-دختر) حالتی که يکی از فرزندان پسر باشه و يکی دختر  ميشه دو حالت از چهار حالت در نتيجه با اين استدلال، جواب ميشه ۵۰ درصد.

اما هر دو اينها غلطه. شما در اينجا به يه احتمال شرطی روبرو هستين. احتمال دختر بودن يکی از فرزندان به شرط اينکه فرزند ديگه پسر باشه. از چهار حالتی که در بالا گفته شد حالت (دختر-دختر) حذف ميشه چون با شرط پسر بودن يک فرزند جور در نمياد. ميمونه ۳ حالت و از اين سه حالت دو تاش حالت مورد نظر ماست. در نتيجه احتمال دختر بودن فرزند ديگه ميشه دو سوم.

....................................................................................................

مردي تردست كه با جواني ساده دل اما ازمند همسفر شده بود و به مقدار پولش
پي برده بود به او چنين پيشنهادي كرد:
تردست:دوست داري پولت را دو برابر كنم؟؟
ساده دل:چه بهتر از اين.
تر دست:يك شرط دارد هر بار كه پولت را دو برابر كنم بايد 800 تومان به من بدهي
قبول ميكني؟؟
ساده دل شرط را پذيرفت اما پس از 3 بار همه ي پولهايش را از دست داد!!
اين جوان ساده دل قبل از اين شرط بندي چند تومان با خود داشته است؟؟

**جوان در بار سوم كه پس از دو برابر شدن پولش و پرداختن 800 تومان چيزي
برايش نمانده 400 تومان داشته است
بار دوم پس از دو برابر شدن پولش 1200=800+400 تومان و پيش از ان 600=2/1200 تومان داشته است .
به همين ترتيب معلوم ميشود كه پولش در بار نخست برابر بوده با:
700=2/(600+800).................700 تومان

 

تاريخچه ي عدد صفر

 

يکی از معمول ترين سئوالهائی که مطرح می شود اين است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به اين سئوال بدنبال اين نيستيم که بگوئيم شخص خاصی صفر را ابداع و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.

اولين نکته شايان ذکر در مورد عدد صفر اين است که اين عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسيار مهم تلقی می شود يکی از کاربردهای عدد صفر اين است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراين در عددی مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جايگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع اين عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومين کاربرد صفر اين است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنيم.

هيچکدام از اين کاربردها تاريخچه پيدايش واضحی ندارند. در دوره اوليه تاريخ کاربرد اعداد بيشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، ... بکار می برند و در اينگونه مسائل هيچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر يا اعداد منفی باشد.

بابليها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هيچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار  نمی بردند. می توان گفت از اولين نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گيومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمايش دهنده 2106 بود. البته بايد در نظر داشت که از علائم ديگری نيز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد وليکن هيچگاه اين علائم به عنوان آخرين رقم آورده نمی شدندبلکه هميشه بين دو عدد قرار می گيرند بطور مثال عدد "216 را با اين نحوه علامت گذاری نداريم.  به اين ترتيب به اين مطلب  پی می بريم که کاربرد اوليه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان يک عدد نبوده است.

البته يونانيان هم خود را از اولين کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما يونانيان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابليان نداشتند. اساساً دستاوردهای يونانيان در زمينه رياضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت ديگر نيازی نبوده است که رياضی دانان يونانی از اعداد نام ببرند زير آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.

البتهبعضى ازرياضی دانان يونانی  ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در اين قسمت به اولين کاربرد علامتی اشاره می کنيم که امروزه آن را به اين دليل که ستاره شناسان يونانی برای اولين بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می ناميم. تعداد معدودی از ستاره شناسان اين علامت را بکار بردند و قبل از اينکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، ديگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در رياضيات هند ظاهر شد.

هنديان کسانی بودند که پيشرفت چشمگيری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ايجاد کردند هنديان نيز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.

اکنون اولين حضور صفر را به عنوان يک عدد مورد بررسی قرار می دهيم اولين نکته ای که می توان به آن اشاره کرد اين است که صفر به هيچ وجه نشان دهنده يک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پيش اعداد به مجموعه ای از اشياء نسبت داده می شدند و در حقيقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ويژگيهای مجموعه اشياء نتيجه نمی شدند، ممکن شد. هنگاميکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگيريد با اين مشکل مواجه می شود که اين عدد چگونه در عمليات محاسباتی جمع، تفريق، ضرب و تقسيم عمل می کند. رياضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به اين سئوالها پاسخ دهندو در اين زمينه نيز تا حدودى موفق بوده اند .  

اين نکته نيز قابل ذکر است که تمدن ماياها که در آمريکای مرکزی زندگی می کردند نيز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.

بعدها نظريات رياضی دانان هندی علاوه بر غرب، به رياضی دانان اسلامی و عربی نيز انتقال يافت. فيبوناچی، مهمترين رابط بين دستگاه اعداد هندی و عربی و رياضيات اروپا می باشد.

 

بوزجانی ،ابوالوفا

 

ابولوفا بوزجانی از مفاخر علمی ایران ،یکی از بزرگترین ریاضی دانان و همچنین منجمان مسلمان می باشد،وی احمالاً در سال 319 یا 328 هجری در بوزجان (تربیت جام-شهرکی میان هرات و نیشابور)متولد شد.

بوالوفاء در تکمیل حساب مثلثات سهمی بسزا داشت و همچنین کشفیاتی در مثلثات و هندسه داردئ که می توان به قاعده مقادیر اربعه که اساس حل مثلثات کروی است اشاره کرد.

وی همچنین نسبت (سکمانت) را پیدا کرد و اولین شخصی است که شعاع دایره را برابر با یک در نظر گرفت.دانشمندان اوروپایی قرن دهم میلادی را به نام و دوران ابوالوفا نامگذاری کرده اند.

بوزجانی کتابی درباره علم حساب نوشت که اولین بار مورد توجه دانشمندان اروپایی قرار گرفت.

او در این کتاب با استفاده از اعداد صحیح توانست معادله ها را حل کند.بعضی از دانشمندان عقیده دارند که در بین ریاضی دانان اسلامی،او اولین کسی است که در حل معادلاتش از اعداد منفی سود جسته است. ابوالوفا کتاب بسیار ارزنده ای درباره نجوم،هندسه،مثلثات و حساب نوشت و طرح فرمول سهمی در آیینه های سوزنده که کانون آن را اجاق نامید از بوزجانی است. به علت خدمات فراوان او در ریاضیات و نجوم یکی از دهانه های ماه را به نام او نامگذاری کردند.

ابوالوفا بوزجانی در سال 376 هجری درگذشت.

آرمین ایزدی-نیما حقیقی

بیرونی ،ابوریحان

 

هیچ دانش آموزی نیست که نام ابوریحان بیرونی برایش نا آشنا باشد.او دانشمند ریاضی دان ،منجم،جغرافی دان،فیلسوف و جهانگردی بزرگ بود. ابوریحا از مردم خوارزم بود،و چون در بیرون از شهر خوازم به دنیا آمد به بیرونی معروف شد.

ابوریحان در سال 362 ه.ق چشم به جهان گشود.او اوایل عمر را در خوارزم گذراند و سپس چند سالی در دربار شمس المعالی قابوس و شمگیر بود .بعد به خوارزم برگشت.او در زمان لشکر کشی سلطان محمود غزنوی به خوارزم در آنجا بود و همراه سلطان محمود به غزنه و سپس در جریان لشکر کشی سلطان محمود به هندوستان رفت.

ابوریحان در هند به معاشرت با دانشمندان هندی پرداخت و زبان سانسکریت را آموخت و طی این مدت به تالیقف کتاب ماللهند همت گماشت.

بیرونی دانشمندی بود محقق و نکته سنج،،افکارش تازه و نو بودند و به دانشمندان کنونی بیشتر نزدیک بود تا به دانشمندان نسل خودش،او همچنین در زمان حیاتش با بو علی سینا نیز آشنا شد و مدتی را با هم به تحقیق و آزمایش پرداختند.

از تحقیقات ابوریحان می توان به گندمهایی که به تصاعد هندسی در خانه های شطرنج قرار داده می شوند. ساده کردن تصویر جسمها برای تسطیح مره،تعیین عرض و طول جغرافیایی شهرها،تحقیق در جرم مخصوص و تعیین جرمهای مخصوص هیجده سنگ گرانبها و فلز اشاره کرد.بیرونی همچنین در زمانی که دانشمندان در اروپا اعتقاد به مرکزیت زمین داشتندثابت کرد که زمین کروی است.

ابوریحان در هنگام مرگ هم دست از دانش اندوزی بر نداشت و هنگامی که در بستر مرگ بود از دوست و همکارش تقاضا کرد که مساله ای علمی را که زمانی با هم درباره آن تحقیق می کردند،بازگوید.هنگامی که دوستش با تعجب به او گفت((اکنون چه وقت پرسیدن این مطلب است ؟)) ابوریحان پاسخ داد((این مساله را بدانم و بمیرم یا نادانسته و نادان بمیرم؟))

ابوریحان بیرونی در سل 440 ه.ق و در سن 70 سالگی در غزنه درگذشت.

آرمین ایزدی- نیما حقیقی

افکار فیثاغورث

افکار فیثاغورث ریاضیدان و فیلسوف یونانی به شکل گیری ریاضیات نوین و فلسفه غرب کمک کرده است . هدف او توضیح همه پدیده های طبیعی بر اساس ریاضیات بود . فیثاغورث بیش از هر چیز برای فرمولی که در مورد نسبتهای اضلاع مثلث راست گوشه ارائه کرده است معروف است. مفاهیم متعدد دیگری (مانند تصاعدهای حسابی و هندسی و عددهای مربع کامل ) که برای ریاضیات نوین نقش زیر بنایی دارند بر افکار فیثاغورث مبتنی هستند . فیثاغورث و پیروان او ریاضیات هماهنگ ها را که مبنای موسیقی امروز غرب را تشکیل می دهد ابداع کردند.

حدود 580ق.م فیثاغورث در ساموس یونان به دنیا می آید.

حدود 532 ق.م برای فرار از حکومت جابر ساموس به جنوب ایتالیا سفر می کند.

حدود 525 ق.م یک آکادمی را در کروتون (که اکنون کروتونا نام دارد) تاسیس می کند . این آکادمی یک مدرسه و یک مکتب برادری مذهبی مبتنی بر اصول اخلاقی و فلسفی معینی است ، که در آن همه برادران می بایستی وفاداری و رازداری را رعایت کنند . در ریاضیات ،فیثاغورث و پیروان او با آرایشهای مختلف دسته هایی از ریگ آزمایش می کنند و در می یابند که دنباله های منظمی از اعداد پدید می آید. مثلاَ شکلهای مثلثی دنباله 10،6،3،1،... و شکلهای مربعی دنباله 16،9،4،1،... را ایجاد می کنند. کلمه calculate به معنی محاسبه (از calculus به معنی «سنگریزه» و نیز اصطلاح مربع (توان دوم) از این کاربرد ریگها اقتباس شده است . در هندسه ، آنها در می یابند که مجموع زوایای یک مثلث همیشه 180 درجه است.


آنها همچنین این قضیه معروف را ارائه می کنند که مربع وتر یک مثلث راست گوشه برابر مجموع مربهای دو ضلع دیگر ان است . در موسیقی ، فیثاغورث و پیروان او با آزمایش بر روی تارهای کشیده شده ریاضیات اکتاوها را ابداع می کنند (هرگاه طول تاری را نصف کنیم ، نتی را که یک اکتاو پایینتر است ایجاد می کند،) در اخترشناسی ، آنها این نظریه را مطرح می کنند که جهان کروی است و زمین نیز کره ای در مرکز آن است. خورشید به طور سالانه و روزانه به دور آسمان می چرخد ، و ماه و سیاره ها نیز به همین ترتیب رفتار می کنند. فیثاغورث در آسیای صغیر (ترکیه امروز) به سفرهای وسیعی می پردازد و در آنها با بعضی از ریاضیدانان و فیلسوفان برجسته ان زمان تبادل نظر می کند.

حدود 500ق.م در متاپونتوم (نزدیکی متاپونتوی امروز) در ایتالیا می میرد.

خیام

خیام از برجسته ترین حکما و ریاضی دانان جهان  در سال ۳۲۹ ه.ق در نیشابور به دنیا آمد . وی همچنین شاعر معروف ایرانی در قرنهای پنج و شش است . بعدها به دلیل آنکه پدرش خیمه دوز بود به خیام معروف شد . کمتر می نوشت و شاگرد می پذیرفت و به واسطه تبحر و دانش عظیمی که در ریاضیات و نجوم داشت  از سوی ملکشاه سلجوقی فراخوانده شد  . او بنا به خواست ملکشاه در ساخت رصدخانه ملکشاهی و اصلاح تقویم با سایر دانشمندان همکاری داشت . حاصل کارش در این زمینه تقویم جلالی آن است که هنوز اعتبار و رواج دارد و تقویم او از تقویم گریگور یابی دقیق تر است .
در حدود دوازده اثر از خیام در علم و فلسفه به جای مانده است ، اما همین آثار اندک ، وی را در سراسر جهان به شهرت رسانده است . از مهمترین آنها کتاب جبر اوست که بهترین اثر در نوع خود در ریاضیات است . از دیگر آثار او می توان به رساله فی شرح ما اشکال من مصادرات اقلیدس  ، رساله فی ابراهین علی المسائل الجبر و المقابله (جبر خیام)،  میزان الحکم رساله الکون و التکلیف ، الجواب عم ثلاث مسائل اضیاء العقلی ، رساله فی الوجود ، رساله فی کلیه الوجود ، نوروزنامه و کتاب الزیج المکشاهی  که به رومی نیز ترجمه شده است.

اشعار خیام بیشتر به زبان پارسی و تازی هستند مضمون عمده رباعیات خیام شک و حیرت ، توجه به مرگ و فنا و تذکر در مورد مغتنم شمردن عمر آدمی است.

گاویست   بر   آسمان    قرین    پروين
                                                      گاويست  دگر  نهفته   در   زير   زمين

گر   بينايی     چشم     حقيقت     بگشا

                                                              زير  و  زبر  دو  گاو  مشتی خر 

 

عدد هفت

الف) مقدمه:

عدد هفت عددی است که شاید مثل همه ی عدد های دیگر در نظر ما عادی جلوه کند اما نگرش ما وقتی متبلور می شود که خواص عدد هفت را بدانیم و ببینیم چه «هفت» هایی در زندگی ما وجود دارند و ما در گیر و دار زندگی ماشینی و با بی تفاوتی از کنار آن ها رد می شویم مثلا شاید جالب باشد که بدانیم، رنگین کمان دارای هفت رنگ است .عجایب جهان، هفت تا هستند.(که به عجایب هفت گانه معروفند ) یا در یونان باستان، اسطوره ای با نام هفت خدای، در ذهن مردم نقش بسته است، ویا شهر عشق، که دراشعار عطار آمده است، هفت شهر می باشد، سوره ی مبارکه حمد، که اوّلین سوره ی قرآن کریم است، هفت آیه دارد. آسمان دارای هفت طبقه است. بهشت وجهنم هر کدام دارای هفت طبقه و درجه هستند و طواف خانه خدا هفت دور است، موسیقی ایران و یونان هفت دستگاه داد، هفت نوع ساز بادی وجود دارد و علاوه بر این هفت نت موسیقی وجود دارد(دو، ر، می، فا، سل، لا، سی) و…

ب) تاریخچه:

در سال ۱۸۸۹ میلادی کتابی ار یک جهان گرد منتشر شد که، از جمله روش شمردن را در میان قبیله ای از تورس شرح داده است. اینها برای شمردن تنها از دو واژه استفاده می کردند: یک و دو. برای عدد سه می گفتند «دو و یک » برای چهار «دو و دو»، برای پنج «دو و دو یک » و برای شش «دو و دو و دو» ولی برای عددهای بزرگ تر از ۶، هر قدر بود، می گفتند «خیلی ». گرچه این آگاهی مربوط به پایان سده ی نوزدهم است ولی می تواند گواهی بر شیوه ی شمردن در آغاز شکل گیری مفهوم عدد در میان انسان های نخستین باشد. بعد ها که برای عددهای بزرگتر هم نامی در نظر گرفتند به احتمالی برای عدد «هفت» از همان واژه ی قبلی «خیلی» یا «بسیار» استفاده کردند. عدد هفت که سده های متوالی برای آنها نا شناخته بود، اندک اندک به صورت عددی مقدس در آمد. وقتی که مصری ها، بابلی ها و دیگر امت ها توانستند پنج سیاره ی نزدیک تر به خورشید را بشناسند، با اضافه کردن ماه و خورشید، به عدد هفت رسیدند و این بر تقدس عدد ۷ افزود وقتی در قصه های کهن تر، که تا زمان ما هم ادامه پیدا کرده است، صحبت از شهری می شود که هفت برج و هفت بارو داشت، به معنای آن است که این شهر برج و باروهای بسیار داشت. هفت آسمان و هفت دریا و هفت کشور، به معنای آسمان ها و کشور ها و دریاهای بزرگ است نه هفت آسمان و هفت دریا (نه کم و نه زیاد ). هنوز در زبان فارسی اندرز می دهند « هفت بار گز کن یک بار پارچه کن ». این جمله به معنای آن نیست که برای دقت کار و کم کردن اشتباه در اندازه گیری یا هر کار دیگری باید درست ۷ بار آزمایش کرد، نه شش یا هشت بار. در اینجا هم هفت به معنی «بسیار» است. عدد۱۳ هم چنین سرنوشتی دارد….

ب) هفت و…

نزد بسیاری از اقوام عهد باستان «هفت» عدد ویژه ای بود. در فلسفه و نجوم مصریان و بابلی ها، عدد هفت به عنوان مجموع هر دو زندگی، سه و چهار، جایگاه ویژه ای داشت.(پدر و مادر و فرزند؛ یعنی سه انسان، پایه و اساس زندگی هستند و عدد چهار مجموع چهار جهت آسمان و باد است.)
ایرانیان قدیم در آیین زرتشت، اهورامزدا را مظهر پاکی میدانستند و برای او هفت صفت را بر می شمردند و در مقابل او اهریمن را پدید آورنده ی پلیدیها می دانستند و می گفتند در پیرامون اهورامزدا فرشتگانی هستند که مظاهر صفات حسنه هستند و برای احترام به آن ها که اول هرکدامشان سین بود هنگام سال تحویل سفره می گستراندند و هفت قسم خوراکی که نام هریک با سین شروع می شود: سیر، سرکه، سیب، سماق، سمنو، سنجد، سکه، و سبزی را سر سفره می گذاردند که به سفره ی هفت سین معروف بود.
برای فیلسوف و ریاضیدان یونانی«فیثاغورث» نیز عدد هفت، مفهموم ویژه ی خود را داشت که از مجموع دو عدد سه و چهار تشکیل می شود: مثلث و مربع نزد ریاضیدانان عهد باستان اشکال هندسی کامل محسوب می شدند، از این رو عدد هفت به عنوان مجموع سه و چهار برای آن ها عدد مقدسی بود. علاوه بر این در یونان هر هفت سیاره را خدایی میدانستند : سلن، هیلیوس،آرس،هرمس، زئوس، آفرودیت و کرونوس.
یهودیان قدیم نیز برای عدد هفت معنای ویژه ای قایل بودند. در کتاب اول عهد عتیق (تورات) آمده است که خداوند جهان را در شش روز خلق کرد، در روز هفتم خالق به استراحت پرداخت. موسی در ده فرمان خود از پیروانش می خواهد که این روز آرامش را مقدس بدارند(روز شنبه و روز تعطیل یهودیان). علاوه بر این در آن کتاب مقدس هفت با عنوان عدد تام و کامل نیز استعمال شده است. از آن زمان عدد هفت نزد یهودیان و بعد ها نیز نزد مسیحیان که عهد عتیق را قبول کردند، به عنوان عددی مقدس محسوب می شد.
به این ترتیب بود که از دوران باستان هفتگانه های بیشماری تشکیل شدند: یونانیان باستان همه ساله هفت تن از بهترین هنرپیشگان نقش های سنگین و غمناک و نقش های طنز و کمدی را انتخاب میکردند. آن ها مانند رومی های باستان به هفت هنر احترام میگذاشتند. روم بر روی هفت تپه بنا شده بود. در تعلیمات کلیسای کاتولیک هفت گناه کبیره(غرور، آزمندی، بی عفتی، حسد، افراط، خشم و کاهلی) و هفت پیمان مقدس(غسل تعمید، تسلیم و تصدیق، تقدیس و بلوغ، ازدواج، استغفار و توبه، غسل قبل از مرگ با روغن مقدس، در آمدن به لباس روحانیون مسیحی) وجود دارد. برای پیروان محمد(ص) آخرین مکان عروج، آسمان هفتم محسوب می شود. در بیست و هفتم ژوئن هر سال، روز «هفت انسان خوابیده » مسیحیان یاد آن هفت برادری را که در سال ۲۵۱ بعد از میلاد، برای عقیده و ایمان خود، زنده زنده لای دیوار نهاده شده و شهید شدند، گرامی می دارند؛ مردم عامه می گویند که اگر در این روز باران ببارد، به مدت هفت هفته بعد از آن هوا بد خواهد بود، آن گاه انسان باید هفت وسیله ی مورد نیازش را بسته بندی کند و با چکمه های هفت فرسخی خود به آن دورها سفر کند. صور فلکی خوشه ی پروین یا ثریا به عنوان «هفت ستاره» معروف است، در حالی که حتی با چشم های غیر مسلح میتوان در این صورت فلکی تا یازده ستاره را دید.
عرفای بزرگ عشق و وصال را در هفت مرحله و هفت وادی نشان داده اند و فاصله ی بین هستی و تباهی را پنچ مرحله دانسته اند.
در افسانه ها نیز با هفت سحر آمیز برخورد می کنیم: سوار ریش آبی هفت همسر داشت، سفید برفی با هفت کوتوله پشت هفت کوه زندگی می گرد و افسانه ی اژدهای هفت سر…
علاوه بر این می توان به هقت اقلیم، هفت اورنگ، هفت دفتر شاهنامه، هفت پیکر، هفت هیکل، هفت گناه کبیره، هفت خان رستم، هفت الوان، هفت گنج، هفت رکن نماز،هفت تحلیل و هفت طواف (در اعمال حج)، هفت قبله(مکه، مدینه،نجف،کربلا،کاظمین،سامرا،مشهد) و… اشاره کرد و به این ترتیب بود که تعداد بیشماری هفتگانه در دنیا بوجود آمد و به عدد هفت تقدس خاصی بخشید.

منابع:

۱) هفت در قلمرو تمدن و فرهنگ بشری/زهره والی-تهران:اساطیر، ۱۳۷۹.
۲) هفت در قلمرو فرهنگ جهان/موید شریف محلاتی، سال ۱۳۳۷.
۳) سرگذشت ریاضیات/ پرویز شهریاری_تهران: نشر مهاجر، ۱۳۷۹.
۴) دهکده ی ریاضی(گاهنامه)/شماره ی اول_مهرماه ۸۱.

 

اقلیدس

اقلیدس ریاضی دان

اقلیدس از مردم اسکندریه .ریاضیدان و معلم زبان یونانی بود و در مدرسه سلطنتی اسکندریه مصر ریاضیات درس می داد .به اقلیدس((پدر هندسه)) لقب داده اند چون او بنیانگزار هندسه ای به نام هندسه اقلیدوس است.

او تمام قضایایی که ظاهرا هیچ استفاده ای از ان نمی شد به صورت قضیه هایی که قابل درک و کامل باشند در اورد و تلاش بسیاری کرد تا با اثبات یک قضیه ان را به قضیه دیگری ارتباط دهد بدین ترتیب هر شاگرد ریاضی مجبور می شد برای اثبات مسئله ریاضی تلاش کند. اقلیدس به ماموران مالیاتی خدمت بزرگی کرد .

در عهد باستان به مصر(( هدیه نیل)) می گفتند زیرا شهرت و اعتبار مصر باستان به عزمت و بزرگی رود نیل بود ولی این رود هر سال طغیان میکرد البته این طغیان به سود اهالی بود چون رود گل الود نیل که از دورترین کوه های افریقا سرچشمه میگرفت تمام کشتزارهای مصر را می پوشاند و انها را برای کشاورزی اماده می کرد ولی این طغیان کار ماموران وصول مالیات را سخت می کرد چون به این ترتیب حدود زمین های کشاورزی از بین میرفت و تعیین محدود زمین مالکان مطالبه شود اول باید مساحت زمین مشخص شود در این زمان هندسه که در زبان یونانی به معنی نقشه برداری زمین بود به این مشکل اساسی پاسخ داد مامورین مالیات با کمک هندسه مساحت زمین هر مالک را حساب می کردند بعد مجموع مساحت های مثلث را جمع اوری میکردند و اندازه ی مساحت زمین را می گفتند و مالیات را وصول می کردند .اقلیدس نتایج کارهای .تالس.فیسا غورث وافلاطون را جمع اوری و همه انها را مطالعه کرد . وی تعریف های سادهی هندسی را که قواعد کلی نامیده می شدند به صورت مجموعه در اورد و همگی انها را قضیه نامید . البرات انیشتین می گویند (( اگر شخصی در جوانی کتاب قواعد اقلیدس را ندیده باشد و نخوانده باشد نمی توان پژوهشگر شد.))

ابراهام لینکلن رئیس جمهور امریکا در چهل سالگی این کتاب را مطالعه کرد و ان نه از نظر بلکه از دیدگاه حقوقی و اجتماعی به کارسبت.

مطالعه رشته های دیگر مانند صوت . نور . کشتیرانی . مکانیک . پزشکی و زیست شناسی مستلزم کافی از نظریه های اقلیدس است.

نوری

فیثاغورث

فیثاغورث

فیثاغورث در 582 سال قبل از میلاد در شهر ساموس یونان به دنیا آمد.هیچ دانش آموزی وجود ندارد که قضیه معروف او را نداند و در حل بعضی از مسایل هندسی از آن استفاده نکرده باشد.از قضیه فیثاغورث در اکثر رشته های علمی استفاده می شود.این قضیه ثابت می کند که در هر مثلث قائم الزاویه مجموع مربعهای دو ضلع مجاور به زاویه قائمه مساوی با مربع وتر است.

مصریها بدون آن که قضیه فیثاغورث را بدانند از آن استفاده  می کردند ،اما فیثاغورث اولین کسی بود که به برهان اساسی این قضیه پی برد.

فیثاغورث چندین بار به مصر سفر و از مراکز آموزشی آنجا دیدن کرد،ولی سفرهای او با مذاق خیلی ها جور نبود،چون در سال520 قبل از میلاد به دستور پلی کراتس از یونان به ایتالیا تبعید شد.او و پیرواش مکتبی را پایه ریزی کردند که از تساوی مذهبی در آن صحبت می شد.این گروه از طبقه اشراف و مشهور به فیثاغورثیان بودند. آنها در خفا سوگند یاد کرده بودند،به پیمانی که بسته اند وفادار بمانند.

فیثاغورثیان اعتقاد داشتند روح آدمی فناناپذیر است،یعنی در طی سالیان بارها و بارها به زمین بر می گردد و در وجود آدمیان دیگری تجلی می کند،،آنها حتی معتقد به این اصل بودند که بین انسان و حیوان رابطه خاصی وجود دارد و گاهی روح انسان در جسم یک حیوان تجلی می کند.

فیثاغورث نیز مانند گالیله و کپرنیک باور داشت که تمام سیارات به دور خورشید می چرخند و خورشید مرکز عالم است. او حتی به این نکته نیز عقیده داشت که تمام ستارگان و سیارات و اقمار به شکل کره هستند.چرا؟ جواب آن روشن است،چون اعتقاد داشت که کره کاملترین شکل هندسی است.

در میان فیثاغورثیان گروهی ریاضی دان ،ستاره شناس و زیست شناس وجود داشتند.آنها کشفیات بزرگی انجام دادند،مثلا می توان به کشفیات اعصاب بینایی و شیپور استاش دستگاه شنوایی اشاره کرد.از جمله کارهای ارزنده ای که این گروه انجام دادند ،استفاده از علم ریاضیات در موسیقي است.آنها با استفاده از نت ،آهنگی را می نواختند که شنیدن آن خالی از لطف نبود.

ارسطو ،حدود دو قرن بعد درباره فیثاغورثیان گفت:

((آنان تنها گروهی بودد که در خواندن و مطالعه و تکمیل ریاضیات کوشیدند و این علم را پایه ریزی کردند.آنها به این نکته معتقد بودند که قوانین حیات هر موجود زنده ای از اصول ریاضی پیروی می کند.))

 

گردآوري:آرمين ايزدي- نيما حقيقي

خوارزمی

: یکی از دانشمندان بزرگ ایرانی که *منجم*ریاضیدان*و جغرافیدان*که در سال ۱۸۵(ه.ق)در نزدیکی بغداد به دنیا آمد.او بزرگترین عالم زمان و عصر خویش بود.اجدادش اهل خوارزم بودند امّا به احتمال زیاد خودش از اهالی قطربولی منطقه ای نزدیک بغداد بود.او در زمینه ریاضیات و نجوم, مهارت بسزایی داشت.او اولین ریاضیدان دوره اسلامی است که آثارش به دست ما رسیده.وی در زمان خلافت ماُمون عضو"دارالحکمه"که گروهی از دانشمندان در بغدا به سرپرستی مامون قرار داشتند شد و مورد توجه خلیفه وقت بود.او کتاب جبر و مقابله خود را که درباره ریاضیات مقدماتی است و اولین کتاب جبر است که به عربی نوشته شده است.آن را به مامون تقدیم کرد.کتابهای او در زمینه*جبر*حساب*نجوم*که به زبان عربی نوشته شد هم در کشورهای اسلامی و هم در کشورهای اروپائی تاثیر بسزایی داشت.کتابهای دیگر او که درباره ارقام هندی است بعد از آنکه در قرن ۱۲ به زبان لاتینی منتشر شد تاثیر خاصی بر روی اروپائیان گذارد و نام خوارزمی مرادف با هر کتابی که درباره حساب جدید بود قرار گرفت و از همین جا اصطلاح الگوریتم به معنای قاعده محاسبه رواج یافت.از جمله کتابهای دیگر او در زمینه ریاضی می توان مختصر من حساب الجبر و المقابله*و کتاب الجمع و التفریق*و زیج را نام برد.وی در سال ۲۳۳(ه.ق)درگذشت...

((تحقیقی ازیاشار محمدی))

((                ))                                                                             

    ))         ((

      ((     ))

        (())   

چگونه مسئله را حل كنيم؟

 

                   

 

فهميدن مسئله

 

اول بايد مسئله را فهميد.

الف) داده هاي مسئله كدامند؟ شرط مسئله چيست؟

ب) مسئله از شما چه خواسته است؟ آيا شرط مسئله براي تعيين جواب گافي است؟

 

انتخاب راهبرد

 

ارتباط مين داده ها و جواب را پيدا كنيد.ممكن است در صورت پيدا نشدن ارتباط مستقيم مجبور شويد مسئله هاي كمكي در نظر بگيريد.بايد سرانجام يك نقشه ي كلي براي مسئله طرح كنيد.

 

اجراي نقشه

 

در ضمن اجراي نقشه ي حل مسئله هر گام را كه برمي داريد وارسي و امتحان كنيد آيا مي توانيد آشكارا ببينيد كه گام برداشته شده درست بوده است؟ آيا مي توانيد درست بودن آن را ثابت كنيد؟

 

بازگشت به عقب

 

آيا مي توانيد نتيجه را وارسي كنيد؟

آيا مي توانيد نتيجه را از راهي ديگر به دست آوريد؟ آيا مي توانيد نتيجه يا روش را در مسئله اي ديگر به كار بريد؟

 

مطالب زير از كتاب هاي اول و دوم راهنمايي گرفته شده است.

 

روش هاي حل مسئله

 

1.استفاده از شكل

كشيدن شكل مناسب براي مسئله ها ، طبيعي ترين راهبردي است كه در حل مسئله به ذهن مي آيد . اين كار به فهم بهتر مسئله و پيدا كردن راه حل آن كمك مي كند .گاهي مسئله با كشيدن شكل به طور كامل حل مي شود و به نوشتن عمليات رياضي نيازي نيست

يك تصوير طرح ذهني به ما در درك بهتر جمله ها و نوشته هاي يك متن كمك مي كند و نكات پيچيده و مبهم را بر ايمان روشن مي سازد . در مسئله هاي رياضي نيز شكل به ما كمك مي كند كه قبل از حل مسئله آن را ببينيم .

 

 

1 .  با توجه ، زير مجموعه هاي c , b, a را مشخص كنيد .

الف. عدد 2 عضو هر سه مجموعه است .

ب. عدد 3- عضوc,bاست ولي در aنيست .

پ . عدد هاي 10 و 5- عضو مجموعه هاي b,aهستند و در  cنيستند 

ت. مجموع عددي عضو هاي b صفر است و مجموعه ي b ، 6 عضو دارد .

ج. جمع اعضاي مجموعه ي c نيز صفر است ، c در مجموع 4 عضو دارد .

چ. جمع اعضاي مجموعه ي a نيز صفر است و a پنج عضو دارد .

ح . مجموعه هاي c,a ، 2 عضو مشترك دارد .

2. توپي از ارتفاع 27 متري سطح زمين رها مي شود و پس از بر خورد به زمين⅓ ارتفاع قبلي خود بالا مي آيد . اين توپ پس از 3 بار به زمين خوردن ، در مجموع چند متر حركت كرده است ؟

3. براي رفتن از شهر تهران به كرج  سه راه وجود دارد اتوبان جاده مخصوص و جاده كرج اگر شخصي بخواهد از شهر كرج به قزوين برود از دو راه اتوبان و جاده ي قديم مي تواند استفاده كند . اگر مسافري بخواهد از تهران به قزوين برود از چند راه مي تواند استفاده كند ؟

4. گنجايش 2 كاسه و 3 ليوان و 1 پارچ  با گنجايش 6 ليوان و 1كاسه و 1 پارچ و هم چنين با گنجايش 2 پارچ و 1 كاسه و 1 ليوان برابر است. اگر بدانيم گنجايش 1ليوان 250 سانتي متر مكعب است گنجايش پارچ و كاسه را پيدا كنيد .

 

ممكن است شما براي بعضي از مسئله ها شكلي نكشيد اما شكل در ذهنتان نقش مي بندد و شما به كمك اين طرح ذهني ، مسئله را حل كنيد .در اين باره كمي فكر كنيد.آيا تا كنون هنگام حل يك مسئله طرح يا شكلي ذهني را در نظر گرفته ايد ؟

 

 

2.جدول نظام دار

نظام دار فكر كردن يعني مرتب كردن اطلاعات يا راه حل مسئله بر اساس نظم و منطق : به طوري كه رابطه ي بين داده ها و بخش هاي مختلف راه حل مشخص باشد . اين نظم و ترتيب را مي توان در يك جدول ارائه كرد .

 

1. همه ي زير مجموعه هاي مجموعه ي ‌‌‌‍‌‌{a,b,c}را بنويسيد .

2. دو عدد صحيح پيدا كنيد كه حاصل ضرب آنها 24 و حاصل جمع آنها كم ترين مقدار ممكن باشد .

3. تعداد پاره خط هاي شكل مقابل را بدست آوريد .                              E A         B          C         D         

 

4. دو عدد طبيعي پيدا كنيد كه حاصل جمع آن ها 24 و حاصل ضرب آن ها بيش ترين مقدار باشد .

 

 

راهبرد جدول نظام دار در مسائلي كه حالت هاي مختلف و متنوع احتمالي وجود دارد ، مؤثر است و بسيار به كار مي رود . رسم يك جدول نظام دار مي تواند تمام حالت هاي ممكن را پيش بيني و مشخص كند .

 

3 . الگو يابي

راهبرد الگو يابي براي مسئله هايي كه در آن ها بين داده هاي مسئله رابطه اي وجود دارد ،مناسب است . از طرف ديگر ، اين راهبرد به تعميم مسئله هاي ساده به مسئله هاي پيچيده تر كمك مي كند . در مسئله ي زير ، به جاي بررسي مسئله در حالت n عضوي از مسئله هاي ساده تر شروع مي كنيم.

 

 

1.      اگر يك مجموعه n عضو داشته باشد ، چند زير مجموعه دارد ؟

2.   اگر دنباله ي عددي ... ، 16  ، 8 ، 4 ، 2 را در مبناي 2 بنويسيم ، چه الگويي خواهد داشت؟ به كمك اين الگو دنباله ي ...،125 ، 25 ، 5 ، را در مبناي 5 بنويسيد .

 

 

پيدا كردن الگو به تفكر و خلاقيت نياز دارد .وقتي الگويي را حدس مي زنيد ، بايد بررسي كنيد كه الگوي مورد نظر شما در همه ي داده ها وجود داشته باشد ، بنا بر اين حدس هاي مختلف خود را آزمون كنيد . پس از كشف الگو بايد توانايي بيان الگوي مورد نظر خود را داشته باشيد .

 

 

3.حذف حالت هاي نا مطلوب

اگر بتوانيم براي پاسخ يك مسئله  حالت هاي مختلف و زيادي را در نظر بگيريم ، بايد به كمك دلايل منطقي و اطلاعات ديگر مسئله پاسخ هاي احتمالي را محدود كنيم تا به خواسته ي مسئله برسيم . پس ، حذف حالت هاي نامطلوب ما را به خواسته ي مسئله ( مطلوب ) نزديك مي كند .

 

1.   دوست شما عدد طبيعي كوچكتر از 100 را در نظر گرفته است و شما بايد با طرح چند سؤال عددمورد نظر او را پيدا كنيد . او به سؤال ها فقط پاسخ بله يا خير مي گويد . چگونه مي توانيد عدد مورد نظر او را پيدا كنيد؟

2.       حاصل جذر عدد 51را تا يك رقم اعشار به دست آوريد (در محاسبه ي توان دوم عددها از ماشين حساب استفاده كنيد .)

 

 

براي حذف حالت هاي نامطلوب بايد دلايل منطقي داشته باشيم . دلايل و روند تفكر خود را براي حذف جواب هاي نادرست در مسئله ها مشخص كنيد و توضيح دهيد . اين كار بخشي از راه حل مسئله است.

 

 

5.زير مسئله

براي رسيدن به پاسخ يك مسئله چه مراحلي را طي مي كنيد ؟ براي پيدا كردن خواسته ي يك مسئله چند مسئله ي مقدماتي را بايد حل كنيد ؟ يك مسئله ي پيچيده را مي توانيد به چند مسئله ي ساده تبديل كنيد . حل مسئله هاي ساده به حل مسئله ي اصلي منجر مي شود .

 

 

1. مسئولان فروشگاه تعاوني يك مدرسه ي راهنمايي نوعي پارچه ي روپوشي را در سه نوبت به صورت زير خريداري كردند:

نوبت اول 1/116 متر از قرار متري 7000 ريال

نوبت دوم 25/128 متر از قرار متري 6720 ريال

نوبت سوم 15/93 متر از قرار متري 8000 ريال

آن ها براي هزينه ي حمل و نقل نيز در مجموع ، 10260 ريال پرداختند . در صورتي كه هر روپوش 35/1 متر پارچه لازم داشته باشد و مزد دوخت هر روپوش 1200 تومان باشد ، بهاي تمام شده ي هر روپوش چند تومان مي شود ؟

 

2. نقاطي را پيدا كنيد كه فاصله ي آنها از خط d،  2سانتي متر و از نقطه ي A، 5/1 سانتي متر باشد

                                                                                                                               

 

                                                                                                   d           

 

 

                                                                                                                          A          

                                              

حل كردن بعضي مسئله ها يا استفاده از نتايج و درك آن ها به فهم بهتر مسئله ي اصلي كمك مي كند و راه حل آن را مشخص مي سازد . تشخيص دادن زير مسئله قسمت اصلي حل مسئله است .

 

 

6. حل مسئله ي ساده تر

بعضي از مسئله ها به نظر دشوار و پيچيده اند . براي درك بهتر اين گونه مسائل ، مي توانيم آن ها را ساده كنيم . درك و حل مسئله ي ساده شده به ما كمك مي كند كه مسئله ي اصلي را بهتر بفهميم و براي حل آن اقدام كنيم . در اين راهبرد ، اغلب براي برقراري ارتباط بين مسئله ي ساده و اصلي از راهبرد الگو يابي استفاده مي شود .

 

 

1.      رقم يكان ¹º³ 3 را به دست آوريد .

2.      مجموع زاويه هاي خارجي يك دوازده ضلعي را كه همه ي زاويه هاي آن از 180 درجه كمتر باشند ، پيدا كنيد .

در بعضي از مسئله ها وجود عدد هاي كسري و كمي غير معمول ممكن است ما را از درك مسئله دور كند . با استفاده از اين راهبرد ، مي توان مسئله را با عدد هاي ساده تر و معمول فهميد و حل كرد.

 

 

7. تشكيل معادله

تبديل كردن يك مسئله به عبارت جبري يا معادله ، از جمله راهبرد هايي است كه در حل مسئله ها كاربرد  زيادي دارد . يكي از راه هاي مدل سازي پديده ها و مسائل ،استفاده از عبارت هاي جبري و معادله هاست .

 

 

 

 

1.          احمد 3000 تومان پول داشت . او 4 دفتر خريد و 200 تومان برايش باقي ماند . قيمت هر دفتر چه قدر بوده است؟

2.     احمد و بهمن 36 جلد كتاب را صحافي احمد 6 جلد كتاب بيش تر از بهمن صحافي كرده است . هر كدام از آن ها چند جلد كتاب صحافي كرده است ؟

3.           

 

بعد از حل معادله (حل رياضي معادله ) ، بايد پاسخ را در محدوده ي واقعي مسئله تفسير كنيد . آيا پاسخي كه از حل رياضي يك معادله به دست آورده ايد ، براي مسئله ي اصلي و واقعي جواب منطقي و مناسبي است ؟

 

8. حدس و آزمايش

 

حدس زدن جواب و آزمايش آن در شرايط مسئله مي تواند به حل مسئله منجر شود . به شرط اين كه حدس هاي بعدي بر اساس منطق و دليل و با بررسي اطلاعات ، خواسته و شرايط مسئله باشد .

 

1.                  معادله ي 18 = x3-  ²x را حل كنيد .

2.   سارا مي خواهد به دوستانش هديه بدهد . اگر او براي هر يك از آن ها يك مداد 150 توماني بخرد ، 200 تومان زياد مي آورد و اگر مداد 175 توماني بخرد ، 100 تومان كم مي آورد . دوستانش چند نفرند ؟

 

حدس و آزمايش نيز مراحلي كاملا قابل قبول براي بعضي از مسئله هاست ، به شرط اين كه بتوانيد فرايند و مراحل تفكر ، حدس ها و بررسي هاي خود را به نحوي مشخص كنيد . توضيح شفاهي ، نوشتن توضيحات و دلايل ، كشيدن جدول و روش هاي ديگر در اين كار به شما كمك مي كند .

 

 

 

 

 

 

 

(چگونه مسئله حل كنيم.پوليا.كتاب اول و دوم راهنمايي)

1.  

سيد امير حسين مير غروي

 

 

گلوله ی سنگین

21 عدد گلوله ي يك شكل و يك اندازه داريم .ولي وزن يكي از آنها از بقيه بيشتر است .چگونه مي توان با سه بار وزن كردن توسط ترازوي دو كفه اي وزنه ي سنگين را مشخص كرد.

 

براي دانش آموزان سال اول

 

تقسیم شکل

 

مي خواهيم اين شكل غير هندسي را با دو برش مستقيم به دو قسمت مساوي تقسيم كنيم به طوري كه اولا هر كدام از دو شكل داراي

 مساحت هاي مساوي باشند .دوما دو شكل بر هم منطبق باشند.

( 4 دقيقه زمان براي  حل اين معما)

 

براي هر سه پايه 

آذوقه

شخصي مي خواهد يك مسير بياباني  100 كيلومتري را بپيمايد.در  فاصله ي 20 كيلومتري از شروع مسير استراحتگاه هايي است كه مي توان در آنها استراحت و حتي غذا انبار كرد ولي انبار اصلي غذا در اول مسير است.شخص فقط مي تواند  غذاي سه وعده را با خود حمل كند و هر 20 كيلومتر را در يك روز طي مي كند. و در هر روز غذاي يك وعده را مصرف مي كند.

مشخص كنيد با اين شرايط كمترين  زماني كه شخص مي تواند مسير  را طي كند چقدر است و چطور؟

 

براي دانش آموزان سال سوم

 

قرص و مریض

دكتري به مريض خود سه قرص داد . و به او گفت كه به فاصله ي نيم ساعت از هم قرص ها را مصرف كند .به نظر شما چه زماني طول مي كشد تا مريض قرص ها را مصرف كند.

 

 

مامور سرشماری

مامور سرشماري در يك سرشماري از يك خانه از پدر خانواده راجع به تعداد و سن فرزندان او سوال مي كند .پدر خانواده مي گويد كه حاصل ضرب سن سه پسر من 36 است و حاصل جمع سن فرزندان من پلاك خانه ي همسايه است .مامور سرشماري بعد از ديدن پلاك خانه ي همسايه كه 13 بود نتوانست سن بچه هاي آن ورد را بيابد. و دوباره از پدر راهنمايي خواست و راهنمايي پدر اين بود كه پسر بزرگم در طبقه ي بالا خوابيده است .سپس مامور سرشماري توانست كه سن بچه ها را بيابد.

الف) سن بچه ها چقدر بوده است .

ب) راهنمايي پدر چه تاثيري داشت؟

 

 

 براي دانش آموزان اول راهنمايي

زنجیر

10 عدد حلقه داريم .مي خواهيم به كمك اين حلقه ها يك زنجير درست كنيم . براي اين كار كافيست حداقل چند تا از حلقه ها را باز كنيم.

 

براي دانش آموزان سال اول

دونده

دونده اي مسير  بين 8 درخت كه  در فاصله هاي مساوي از هم قرار دارند را در 8 دقيقه مي دود .او براي اينكه از درخت هشتم تا درخت يازدهم بدود چقدر زمان طول نياز دارد.

 

براي دانش آموزان سال سوم